|
Дополнение к статье "Один тактический приём" Я намеренно не размещал в основном тексте статьи строгие доказательства утверждений, заменяя их, где это возможно, численными оценками. Думаю, что такой стиль изложения более правильный: статья предназначена не для математиков и это позволит лучше воспринять главные идеи и результаты, почувствовать их численный вес и цену. Вместе с тем строгие математические доказательства, как это показывает опыт, совершенно необходимы. Прежде всего получим точные соотношения для коэффициента эффективности при равных приращениях скорости. Раскладывая в ряд Тейлора выражение для средней скорости (1) и удерживая все члены разложений, получаем для приращений средней скорости выражения
которые после вычисления и подстановки производных принимают вид
а после вынесения за скобки общих множителей, преобразуются к виду
Подставляя в (1d) исходные значения скоростей и вычисляя отношение приращений средней скорости при условии равенства приращений скоростей спуска и подъёма, приходим к уже полученному в основном тексте статьи соотношению
Понятно, что соотношение (2d) является точным и математически строгим при допущении о равенстве приращений скоростей спуска и подъёма. Вместе с тем в самом общем случае принятое допущение не выполняется - именно такой становится ситуация при равных приращениях мощности. Поэтому обобщим выражение (2d) на случай произвольных приращений скоростей. Обратим внимание на то, что выражение в квадратных скобках соотношений (1d) представляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем q1=-ΔVпод/(Vсп+Vпод) и q2=-ΔVсп/(Vсп+Vпод) соответственно. Полагая, что знаменатель по модулю не превосходит 1 (это необходимо для обеспечения сходимости и справедливо для большинства разумных приращений) и вычисляя суммы, получаем для приращений средней скорости соотношения
а для коэффициента эффективности общее соотношение
Повторяясь отмечу, что соотношение (3d) при равных приращениях скорости превращается в ранее полученное в статье выражение для коэффициента эффективности. Именно использование абсолютных значений скоростей и приращений позволило получить в данном случае точные конечные выражения. Стремление работать в относительных величинах, направленное, прежде всего, на более строгое обоснование возможности делать выводы о целом по ограниченному числу членов разложений, думаю, заведомо не привело бы к столь строгому результату. Последнее соотношение позволяет проанализировать поведение коэффициента эффективности при равных приращениях мощности, даже не выписывая его явного выражения. Вынося в числителе за скобки ΔVсп, а в знаменателе ΔVпод, представляем соотношение (3d) в виде
Последняя дробь всегда больше 1 при ΔVпод>ΔVсп , что всегда имеет место при равных приращениях мощности на спуске и подъёме. При больших вложениях мощности в подъём, чем в спуск, положение ещё больше усиливается и коэффициент эффективности ещё больше возрастает. Наконец, несложно проанализировать поведение коэффициента эффективности при сближении скоростей на спуске и подъёме. Коэффициенты сближаются по величине и стремятся к 1. В предельном случае при равенстве скоростей коэффициент эффективности по скорости сравнивается с 1, а коэффициент эффективности по мощности становится очень близким к 1, но всё-таки превосходит её. При равных скоростях небольшое различие в ситуации на спуске и на подъёме всё-таки сохраняется из-за различия в знаках уклона, и приращение ΔVпод по прежнему чуть больше ΔVсп. Полное равенство коэффициентов достигается только при стремлении мощности (скорости) к бесконечности. Но это уже такие нюансы, которые носят совершенно академический характер, и не найдут, скорее всего никогда, своего места на практике. В заключение приведу без вывода несколько более точное соотношение для коэффициента эффективности при равных приращениях мощности, полученное на основе соотношения (3d) и выражения первого приближения для зависимости ΔV от ΔP Точные выражения для ΔVсп,под могут быть получены решением кубического уравнения
где все величины берутся с соответствующими индексами. ОН
|
||||||||||||||||||||||
,
,
,
,
